Kolmogorov-Smirnov One Sample Test

Uji Kolmogorov Smirnov (K-S) satu sampel meerupakan uji gooness-of-fit. Uji ini berkaitan dengan tingkat kesesuaian antara distribusi sampel (skor observasi) dan distribusi teoritisnya. Uji K-S menentukan apakah skor dalam sampel berasal dari populasi yang memiliki distribusi teoritis. Secara singkat uji K-S mencakup perhitungan distribusi frekuensi kumulatif yang akan terjadi di bawah distribusi teoritisnya, serta membandingkan dengan distribusi frekuensi kumulatif hasil observasi. Distribusi teoritis adalah apa yang kita harapkan sesuai dengan H0. Titik dimana kedua distribusi ini - teoritis dan distribusi observasi - memiliki perbedaan terbesar yang akan kita cari. Dengan melihat sampling distribusi kita dapat menentukan apakah perbedaan besar ini terjadi secara random atau tidak. Uji K-S mengasumsikan bahwa distribusi dari cariabel yang kita amai adalah kontinyu seperti ditunjukkan oleh distribusi frekuensi kumulatif. Jadi uji ini cocok untuk menguji goodness-of-fit suatu variabel yang diukur paling tidak dengan ukuran skala ordinal.

Misalkan Fo(X) adalah distribusi frekuensi kumulatif yang diobservasi dari suatu sampel random dengan N observasi. Jika Xi adalah sembarang skor yang mungkin terjadi, maka S_N (Xi) = Fi/N, Fi adalah jumlah observasi yang sama atau lebih kecil dari Xi, Fo(Xi) adalah proporsi yang diharapkan dari observasi yang nilainya sama atau lebih kecil dari Xi.

Dengan hipotesis nol H0 yang menyatakan bahwa sampel telah diambil dari distribusi teoritis, diharapkan untuk setiap nilai Xi, S_N (Xi) harus mendekati Fo(Xi). Jadi jika kita yakin bahwa H0 benar, maka kita berharap bahwa perbedaan antara S_N (Xi) dan Fo(Xi) akan kecil dan berada antara batas random error. Uji K-S memfokuskan pada nilai deviasi (penyimpangan) terbesar. Nilai absolut terbesar dari Fo(Xi) - S Xi disebut Deviasi Maksimum disingkat D.

D = Max |Fo(Xi) - S_N(Xi)| dimana i = 1, 2, ..., N

Diisamping distribusi dari nilai D dapat dilihat pada tabel Kolmogorov-Smirnov di bawah ini yang memberikan nilai kritis dari sampling distribusi D. Tingkat signifikansi nilai D tergantung dari besarnya N. Misalkan dari persamaan di atas nilai D = 0.325 dengan N = 15, maka tabel Kolmogorov-Smirnov di bawah ini memberikan probabilitas signifikansi untuk D lebih besar sama dengan 0.325 adalah antara 0.05 dan 0.10. Jika nilai N lebih besar dari 35, maka nilai kritis D ditentukan dengan melihat baris terakhir dari tabel Kolmogorov-Smirnov dibawah ini. Misalkan seorang peneliti mempunyai sampel N = 43 dan tingkat signifikansi alpha = 0.05, maka tabel Kolmogorov-Smirnov di bawha ini menunjukkan bahwa D lebih besar sama dengan 1.36 dibagi akar skuadrat N akan signifikan. Jadi nilai D yang sama atau lebih besar daripada 1.36 akar kuadrat 43 akan signifikan pada alpha = 0.05 (uji dua sisi atau two tail).

Andaikan seorang peneliti ingin menguatkan, dengan saran experimen observasi sosiologis bahwa orang-orang Negro Amerika tampaknya memiliki hirarki kecenderungan menyukai (preferensi) warna kulit menurut gelap-terangnya. Untuk menguji seberapa sistematisnya kecenderungan kesukaan tingkat-tingkat warna kulit itu. Si peneliti melaksanakan pemotretan satu per satu atau sepuluh orang Negro. Fotografer memprosesnya sedemikian rupa sehingga dari setiap subyek yang sama didapatkan 5 cetakan yang sama dengan yang lain sedikit berbeda dalam hal gelap-terangnya.

Kelima lembar foto dengan subyek sama itu dapat diurutkan tingkatannya dari warna kulit yang paling gelap hingga paling terang. Foto yang menunjukkan warna kulit paling gelap dari masing-masing subyek diletakkan di tingkat 1, yang kurang gelap diletakkan di tingkat 5. Selanjutnya setiap subyek diminta memilih di antara kelima foto wajahnya sendiri. Jika gelap-terangnya wajah mereka tidak penting, maka kelima lembar foto itu akan dipilih sama pentingnya, dengan perbedaan-perbedaan random saja. Jika terang-gelapnya kulit memang penting bagi mereka, maka orang-orang itu secara konsisten akan lebih menyukai salah satu dari tingkat-tingkat yang ekstrim.

Langkah Analisis

1. Hipotesis nol HO adalah tidak terdapat perbedaan pilihan yang diharapkan untuk masing-masing dari kelima tingkatan gelap-terangnya foto, dan setiap perbedaan yang terobservasi hanyalah variasi yang kebetulan (random).
2. Uji statistik. Uji K-S dipilih dalam kasus ini karena peneliti ingin membandingkan distribusi skor yang diobservasi pada skala ordinal dengan satu distribusi teoritis.
3. Tingkat signifikansi alpha = 0.05 dengan jumlah sampel N = 10 orang negro sebagai subyek penelitian.
4. Sampling distribution dapat dilihat pada tabel Kolmogorov-Smirnov di bawah ini yang memberikan nilai D beserta probabilitas signifikansinya.
5. Daerah penolakan terdiri dari semua nilai D yang sedemikian rupa sehingga kemungkinan yang berkaitan dengan terjadinya nilai-nilai tersebut di bawah H0 sama atau kurang dari alpha = 0.05.
6. Keputusan. Besarnya nilai D = |Fo(Xi) - S_N(Xi)| = 3/5 - 1/10 = 5/10. tabel Kolmogorov-Smirnov di bawah ini menunjukkan bahwa N = 10 dan nilai D lebih besar atau sama dengan 0.5 memiliki probabilitas di bawah H0 sebesar p < 0.01. Oleh karena probabilitas ini lebih kecil dari alpha = -0.05, maka kita dapat menolak H0 dan menerima H1 yang menyimpulkan bahwa subyek-subyek kita menunjukkan preferensi yang signifikan dalam hal gelap-terangnya warna kulit.
   
   

   Tabel Preferensi Warna Kulit 10 Orang Negro

   	Tingkat	Gelap	Terangnya	Foto	Terpilih
   	1	2	3	4	5
   F	0	1	0	5	4
   Fo(Xi)	1/5	2/5	3/5	4/5	5/5
   S10(Xi)	1/10	1/10	1/10	6/10	10/10
   D	2/10	3/10	5/10	2/10	0

Langkah Analisis dengan SPSS

1. Misalkan kita ingin menguji apakah data penjualan harian (dalam ribuan dolar) selama 25 hari pengamatan mempunyai distribusi normal dengan hipotesis :
   H0 : data penjualan harian berdistribusi normal
   H1 : data penjualan harian tidak berdistribusi normal.
2. Buat file Penjualan dengan variabel hari dan hasil penjualan sebanyak 25 hari.
3. Dari menu SPSS pilih menu Analyze kemudian pilih Non Parametric Tests lalu pilih Legacy Dialogs dan pilih One-Sample-Kolmogorov-Smirnov Test
4. Tampak dilayar tampilan windows One-Sample-Kolmogorov-Smirnov Tests
5. Isikan pada Test Variable List dengan variable Penjualan, keterangan lainnya biarkan seperti Test Distribution dengan Normal yang dicentang (default SPSS).
6. Terakhir tekan OK

Interpretasi Output SPSS

Tampilan output SPSS menunjukkan bahwa jumlah observasi 25 dengan nilai rata-rata (mean) sebesar 200.84 dan standar deviasi 29.2798. Nilai absolut D adalah 1.40 dengan nilai z kolmogorov-smirnov 0.700. NIlai z ini memberikan nilai probabilitas 0.711 yang jauh diatas nilai alpha = 0.05. Jadi dapat disimpulkan bahwa kita tidak dapat menolak hipotesis nol yang menyatakan bahwa data penjualan harian mempunyai distribusi normal.