Analisis Diskriminan dengan Teknik Analisis Multivariate

Pada postingan yang lalu telah dibahas tentang teori Analisis Diskriman. Kali ini akan dijelaskan dengan menggunakan data tentatif untuk menjelaskan teknik analisis diskriminan.

Tabel 1, Data rasio keuangan perusahaan SEHAT dan BANGKRUT merupakan tabel yang menggambarkan dua rasio keuangan perusahaan dari sudut EBITASS (yaitu rasio earning before interest and tax terhadap total asset) dan ROTC (yatu return on total capital). Tedapat 24 sampel perusahaan yang dibagi kedalam dua kelompok yaitu 12 perusahaan SEHAT dan 12 perusahaan BANGKRUT.

Apabila data ini kita plot, maka dapat dilihat sampai seberapa jauh kedua rasio keuangan ini mampu membedakan kedua kelompok perusahaan SEHAT dan perusahaan BANGKRUT. Adapun tujuan dari plot data adalah untuk menunjukkan bahwa kedua kelompok perusahaan SEHAT dan BANGKRUT dapat dipisahkan secara nyata dilihat dari rasio EBITASS dan ROTC. Hal ini berarti bahwa setiap rasio keuangan dapat membedakan dua kelompok perusahaan SEHAT dan BANGKRUT.

Melihat perbedaan dua kelompok perusahaan dengan hanya melihat 1 variabel disebut dengan Analisis Univariat, uji statistiknya menggunakan uji beda t-test. Sedangkan melihat perbedaan dua kelompok perusahaan dengan hanya melihat 2 variabel secara bersamaan (EBITASS dan ROTC) disebut dengan Analisis Multivariate, uji statistiknya menggunakan uji beda diskriminan. Uji beda diskriminan ini untuk mengetahui variabel mana yang menjadi pembeda terbaik atau yang disebut variabel diskriminan (discriminator variable). Ini adalah merupakan tujuan yang pertama dari analisis diskriminan.

Identifikasi Axis Baru

Apabila pada gambar di atas kita masukkan Axis baru Z yang merupakan garis diagonal dengan sudut 45 derajad dari garis EBITASS, maka kita memproyeksikan katakanlah titik P pada garis diagonal Z dengan persamaan :

Z_{p}=W_{1}EBITASS + W_{2}ROTC

Besarnya w1 = cos 45 = 0,707 dan w2 = sin 45 = 0,707 dengan demikian persamaa Zp menjadi Zp = 0,707 EBITASS + 0,707 ROTC

Persamaan ini merupakan kombinasi linier dari rasio keuangan EBITASS dan ROTC untuk perusahaan P. Jadi proyeksi suatu titik pada garis Z memberikan variabel baru Z yang merupakan kombinasi linier dari variabel rasio keuangan.

Tujuan kedua analisis diskriminan adalah mencari Axis baru yaitu Z dimana variabel baru Z memberikan maksimum kemampuan untuk membedakan antara dua kelompok perusahaan. Axis baru Z ini disebut linear discriminant function atau sering disingkat discriminant function. Proyeksi suatu titik pada discriminat function (atau nilai dari variabel baru Z) disebut discriminat score.

Tujuan ketiga yang ingin dicapai oleh analisis diskriminan adalah pengelompokkan atau klasifikasi observasi ke dalam satu dari dua kelompok perusahaan di masa mendatang.

Sekarang mari kita memilih variabel diskriminator yang merupakan tujuan pertama dari analisis diskriminan dalam sub bab berikut ini.

Memilih Diskriminan dan Klasifikasi

Dari tabel di bawah ini, terlihat perbedaan rata-rata masing-masing rasio keuangan untuk kedua kelompok perusahaan SEHAT dan BANGKRUT yang telah dilakukan pengujian dengan uji beda t-test

Tabel 2. Hasil Uji Beda Perusahan SEHAT dan BANGKRUT

Perusahaan SEHAT			Perusahaan BANGKRUT
Variabel	Mean	Std.Deviasi	Mean	Std.Deviasi	t-value
EBITAS ROTC	0.191 0.184	0.053 0.030	0.003 0.001	0.045 0.069	9.367 8.337

Dari tabel di atas dapat diketahui bahwa nilai t hitung (t-value) untuk EBITASS sebesar 9.367 dan ROTC sebesar 8.337. Oleh karena nilai t hitung lebih besar dari pada nilai t tabel pada tingkat signifikan 5% (n=24;df=5%; maka nilai t tabel = 1.7109) maka dapat dikatakan bahwa kedua rasio keuangan tersebut (EBITASS dan ROTC) mampu membedakan kedua kelompok perusahaan dan akan digunakan untuk membentuk fungsi diskriminan.

Uji t test hanya berdasarkan pada pendekatan univariate, yaitu uji t test untuk masing-masing rasio keuangan. Namun pendekatan yang lebih disukai adalah dengan uji multivariate. Dimana kedua rasio keuangan diuji secara bersamaan atau simultan.

Selanjutnya mari kita menentukan atau membentuk variabel baru atau yang disebut dengan skore diskriminan yang merupakan tujuan kedua dari analisis diskriminan, berikut ini.

Fungsi Diskriminan dan Klasifikasi

Misalkan kombinasi linear atau fungsi diskriminan yang membentuk variabel baru (skor diskriminan) sebagai berikut :

Z_{p}=W_{1}EBITASS + W_{2}ROTC

Dimana Z adalah fungsi diskriminan, maka tujuan analisis diskriminan adalah menentukan nilai w1 dan nilai w2 dari fungsi diskriminan di atas agar memaksimalkan nilai lambda.

\lambda =\frac{between group sum of square}{within group sum of square}

Fungsi diskriminan didapat dengan memaksimalkan nilai lambdayang disebut dengan Fisher's linear discriminant function.

Langkah Analisis dengan SPSS

1. Bukan file diskriminan.xls yaitu data-data yang tertera pada tabel 1 di atas.
2. Dari menu utama SPSS, pilih menu Analyze kemudian submenu Classify, lalu pilih Discriminant.
3. Tampak di layar windows Discriminant Analysis
4. Pada box Grouping Variable, isikan firm dan definisikan perusahaan sehat 1 dan bangkrut 2.
5. Pada box Independent, isikan variabel EBITASS dan ROTC.
6. Pilih Statistics dan aktifkan pilihan test Descriptives, Matrices dan Function Coefficients.

Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada gambar berikut ini.

Intepretasi Output SPSS

Penilaian signifikan variabel diskriminan dapat dilihat dari nilai rata-rata rasio keuangan apakah berbeda secara signifikan untuk perusahaan SEHAT dan BANGKRUT. Untuk menguji apakah ada perbedaan secara signifikan antara kedua kelompok perusahaan dapat dilakukan dengan uji t test (seperti yang telah dijelaskan di atas). Tabel di bawah ini merupakan output spss-nya

Bisa juga dengan menggunakan Wilk's Lambda test statistics. Cara penilaiannya adalah semakin kecil nilai Wilk's Lambda, maka semakin besar probabilitas hipotesa nol (tidak ada perbedaan populasi means) ditolak. Untuk menguji signifikan nilai Wilk's Lambda, maka dapat dikonversikan kedalam F ratio.

Dari output spss di atas (group statistics) menunjukkan bahwa nilai means kedua rasio keuangan antara perusahaan SEHAT dan BANGKRUT berbeda. Di mana rasio EBITASS untuk perusahaan SEHAT sebesar 0.1913 dan 0.0033 untuk perusahaan BANGKRUT. Sedangkan rasio ROTC untuk perusahaan SEHAT sebesar 0.1835 dan 0.0012 untuk perusahaan BANGKRUT.

Begitu juga dilihat dari test statistik Wilk's Lambda menunjukkan perbedaan yang signifikan. Di mana nilai Wilk's Lambda EBITASS sebesar 0.201 yang signifikan pada 0.000 dan nilai Wilk's Lambda ROTC sebesar 0.236 yang juga signifikan pada 0.000. Hasil ini menunjukkan bahwa kedua variabel rasio keuangan (EBITASS dan ROTC) dapat digunakan untuk membentuk variabel diksriminan.

Pada tahap ini merupakan tahap memilih variabel diskriminator yang merupakan tujuan pertama dari analisis diskriminan.

Selanjutnya pada tahap kedua, seperti yang telah disebutkan di atas adalah mencari variabel baru (Z) yang dapat memaksimalkan kemampuan untuk membedakan antara dua kelompok perusahaan tersebut (SEHAT dan BANGKRUT).

Dengan menggunakan teknik Canonical Discriminant Function Coefficients dapat diketahui variabel baru (Z) dengan persamaan estimasi fungsi diskriminan unstandardized sebagai berikut :

Z = -2.002 + 15.092 EBITASS + 5.769 ROTC

Fungsi diskriminan ini dapat ditulis menjadi bentuk :

Z_{p}=W_{1}EBITASS + W_{2}ROTC

Dimana w1 merupakan nilai koefisien EBITASS yang sudah dinormalkan dengan rumus :

W_{1}=\frac{W_{1}}{\sqrt{W_{1}^{2}+W_{2}^{2}}}=\frac{15.092}{\sqrt{15.92^{2}+5.769^{2}}}=0.934

W_{2}=\frac{W_{2}}{\sqrt{W_{1}^{2}+W_{2}^{2}}}=\frac{5.769}{\sqrt{15.92^{2}+5.769^{2}}}=0.357

Sehingga fungsi diskriminan menjadi :

Z = 0.934 EBITASS + 0.357 ROTC

Untuk menguji signifikansi statistik dari fungsi diskriminan digunakan multivariate test of significance. Oleh karena dalam kasus ini lebih dari satu variabel diskriminator yaitu EBITASS dan ROTC, maka untuk menguji perbedaan kedua kelompok perusahaan untuk semua variabel secara bersama-sama digunakan multivariate test. Uji Wilk's Lambda dapat diaproksimasi dengan statistic Chi-Sqaure.

Besarnya nilai Wilk's Lambda sebesar 0.195 atau sama dengan Chi-Sqaure 34.312 dan ternyata nilai ini signifikan pada 0.000, maka dapat disimpulkan bahwa fungsi diskriminan secara statistik, artinya nilai rata-rata (means) skor diskriminan untuk kedua kelompok perusahaan berbeda secara nyata.

Walaupun secara statistik perbedaan kedua kelompok perusahaan ini signifikan, tetapi untuk tujuan praktis perbedaan kedua kelompok perusahaan tersebut tidak begitu besar. Hal ini dapat terjadi pada kasus dengan jumlah sampel yang besar.

Untuk menguji seberapa besar dan berarti perbedaan antara kedua kelompok perusahaan dapat dilihat dari nilai Square Canonical Correlation (CR²). Square Canonical Correlation identik dengan R² pada regresi, yaitu mengukur variasi antara kedua kelompok perusahaan yang dapat dijelaskan oleh variabel diskriminannya. Jadi CR² mengukur sebagai kuat fungsi diskriminan.

Dari output eigenvalues di atas menunjukkan bahwa besarnya Canonical Correlation adalah sebesar 0.897 maka CR² sebesar 0.897² = 0.804. Jadi dapat disimpulkan bahwa 80.4% variasi antara kelompok perusahaan SEHAT dan BANGKRUT dapat dijelaskan oleh variabel diskriminan rasio EBITASS dan ROTC.

Melihat pentingnya variabel diskriminan dan arti dari fungsi diskriminan dapat dilakukan dengan melihat fungsi diskriminan standardized berikut ini.

Standardized Canonical Discriminant Function Coefficient di atas menunjukkan bahwa besarnya koefisien EBITASS sebesar 0.743 dan koefisien ROTC sebesar 0.305. Koefisien yang sudah distandardized digunakan untuk menilai pentingnya variabel diskriminator secara relatif dalam membentuk fungsi diskriminan. Makin tinggi koefisien yang telah distandardized, maka makin penting variabel tersebut terhadap variabel lainnya dan sebaliknya. Variabel rasio EBITASS relatif lebih penting dibandingkan variabel rasio ROTC dalam membentuk fungsi diskriminan.

Oleh karena skor diskriminan adalah indek gabungan atau kombinasi linear dari variabel awal, maka perlu untuk mengetahui apakah arti dari skor diskriminan. Nilai loading dari structure coefficient dapat digunakan untuk menginterpretasikan kontribusi setiap variabel untuk membentuk fungsi diskriminan. Nilai loading variabel diskriminator merupakan korelasi antara skor diskriminan dan variabel diskriminator dan nilai loading akan berkisar antara +1 dan -1. Makin mendekati 1 (satu) nilai absolut dari loading, maka makin tinggi komnunalitas antara variabel diskriminan dan fungsi diskriminan dan sebaliknya.

Hasil Structure Matrix menunjukkan bahwa besarnya loading untuk EBITASS sebesar 0.982 dan besarnya loading untuk ROTC sebesar 0.885. Oleh karena loading kedua variabel rasio keungan ini tinggi, maka skor diskriminan dapat diinterpretasikan sebagai ukuran kesehatan keuangan perusahaan.

Tujuan ketiga dari analisis diskriminan adalah mengklasifikasikan observasi di masa datang kedalam satu dari dua kelompok perusahaan. Output SPSS memberikan nilai tingkat klasifikasi sebesar 95.8% . Ringkasan hasil klasifikasi dapat dilihat pada classification matrix atau confusion matrix. Hasil matrik klasifikasi menunjukkan bahwa 23 observasi telah diklasifikasikan secara benar dan hanya satu observasi diklasfikasikan salah yaitu observasi no. 20, jadi klasifikasi adalah (23/24) atau 95,8%.

Klasifikasi dari observasi secara esensial akan mengurangi pembagian ruang diskriminan ke dalam dua region. Nilai skor diskriminan yang membagi ruang kedalam dua region disebut niai cutoff. Makin tinggi nilai EBITASS dan ROTC makin tinggi nilai skor diskriminan dan sebaliknya. Oleh karena perusahaan yang mempunyai kesehatan keuangan akan memiliki nilai yang lebih tinggi untuk kedua rasio keuangan, perusahaan yang sehat akan memiliki skor diskriminan lebih tinggi daripada perusahaan bangkrut. Jadi perusahaan akan dikelompokkan sebagai perusahaan sehat jika skor diskriminannya lebih tinggi daripada nilai cutoff dan perusahaan akan dikelompokkan sebagai perusahaan bangkrut jika skor diskriminannya lebih kecil dari nilai cutoff.

Secara umum nilai cutoff yang dipilih adalah nilai yang meminimumkan jumlah incorrect classification atau kesalahan misklasifikasi yang dihitung dengan rumus :

nilai cutoff = \frac{Z_{1}+Z_{2}}{2}

Dimana adalah rata-rata skor diskriminan kelompok j. Rumus ini berasumsi jumlah sampel kedua kelompok sama. Dalam hal ini jumlah sampel kedua kelompok tidak sama maka rumus cutoff menjadi :

Tabel 3. Score Diskriminan dan Klasifikasi Perusahaan Berdasarkan Fungsi Diskriminan

( Z = 0.934 EBITASS + 0.357 ROTC )

Kelompok 1			Kelompok 2
No. Persh	Score Diskriminan	Klasifikasi Sehat	No. Persh	Score Diskriminan	Klasifikasi Bangkrut
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	0.213 0.270 0.261 0.346 0.253 0.274 0.208 0.313 0.126 0.185 0.241 0.243	1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1	13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24	-0.022 0.053 0.048 -0.085 -0.093 -0.002 0.019 0.129 -0.059 0.065 -0.033 0.024	2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Nilai Rata-rata	0.244			0.00367

Cara menghitung nilai skor diskriminan pada tabel 3 di atas menggunakan rumus fungsi diskriminan Z = 0.934 EBITASS + 0.357 ROTC. Subtitusikan nilai variabel EBITASS dan ROTC yang ada pada tabel 1 di atas.

Misalkan untuk menghitung skor diskriminan untuk no. Perusahaan 1 pada kelompok 1. Dimana nilai EBITASS = 0.158 dan nilai ROTC = 0.182. Dengan mensubstitusikan kedua nilai variabel tersebut (EBITASS dan ROTC) ke dalam persamaan Z = 0.934 EBITASS + 0.357 ROTC sehingga Z = (0.934x0.158) + (0.357x0.182) = 0.212546 dibulatkan menjadi 0.213.

nilai cutoff = \frac{0.244+0.00367}{2} = 0.124

Jadi nilai Z score >= 0.124 masuk kelompok perusahaan sehat.
nilai Z score < 0.124 masuk kelompok perusahaan bangkrut.

Dari tabel di atas tampak terdapat satu kesalahan klasifikasi yaitu perusahaan no. 20 sehingga nilai cutoff dhitung dengan rumus :

nilai cut off = \frac{n_{1}Z_{1}+n_{2}Z_{2}}{n_{1}+n_{2}}

Dimana Z₁ dan Z₂ adalah rata-rata Z score dan n₁ dan n₂ adalah jumlah sampel kategori.

Nilai cutoff ini juga bisa dihitung dengan nilai centroid dengan rumus :

nilai cut off = \frac{n_{b}Z_{a}+n_{a}Z_{b}}{n_{b}+n_{a}}

Dimana Z_a adalah nilai centroid a dan Z_b adalah nilai centroid b dan n_a, n_b adalah jumlah sampel kategori.

Berikut ini adalah output SPSS yang memberikan rata-rata skor diskriminan untuk kelompok 1 sebesar 1.944 dan rata-rata skor diskriminan untuk kelompok 2 sebesar -1.944 dan memberikan nilai cutoff nol.

Dalam hal tertentu peneliti tidak tertarik pada pengklasifikasian dari observasi, tetapi lebih tertarik pada posterior probabilitas. Posterior probability dengan rumus :

P=\frac{G}{D}

Di mana G merupakan kelompok dan D merupakan skor diskriminan.

Posterior probability ini dapat digunakan untuk mengelompokkan observasi. Sebuah observasi akan dikelompokkan kedalam group tertentu berdasarkan posterior probability tertinggi. Sebagai misal posterior probability untuk observasi no. 20 untuk kelompok 1 dan 2 besarnya 0.573 dan 0.427, maka sekali lagi terjadi satu kesalahan klasifikasi kedalam kelompok 1.

Sebagai catatan mengenai Analisis Diskriminan :

Analisis Diksriminan mempunyai asumsi bahwa data berasal dari multivariate normal distribution dan matrik kovarian kedua kelompok perusahaan adalah sama. Asumsi multivariate normal distribution penting untuk menguji signifikansi dari variabel diskriminator dan fungsi diskriminan. Jika data tidak normal secara multivariate, maka secara teori uji signifikansi menjadi tidak valid. Hasil klasifikasi menurut teori juga dipengaruhi oleh multivariate normal distribution. Apablia diketahui bahwa asumsi multivariate normal distribution tidak dipenuhi maka sebaiknya menggunakan analisis logistic regression. Logistic regression tidak memerlukan asumsi normal distribusi untuk variabel bebasnya.